먼저 좋은 소식으로 시작하자

필즈상과 아벨상 수상자인 마이클 아티야 경이,

9월 25일 리만 가설의 증명을 발표하겠다고 깜짝 발표를 했어

 

사실 가설이 거짓임을 증명하는 건 반례를 보여주면 되니까 25일까지 갈 필요도 없지

그래서 마이클 경의 증명은 리만 가설이 참이다 란 내용일 가능성이 크다고 봐

물론 반례의 구체적인 해를 모르는 채, 존재성을 보여 거짓임을 발표할 수도 있어

만약 그의 증명이 검토를 끝내고 옳은 증명으로 밝혀 진다면, 우리는 수학 역사의 한 획을 살아서 맞이하는 거야

 

 

 

리만 가설은 19세기에 리만에 역사적인 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여> 에 처음 가설이 제기된 이래, 

수학 역사상 가장 시급하고 중요한 문제로 뽑혀.

 

20세기 수학자 힐베르트가 뽑은 수학자가 해결해야 할 23가지 문제와

21세기 수학자들이 뽑은 밀레니엄 7대 문제에 공통적으로 들어가 있는 유일한 문제야

흔히 페르마의 마지막 정리, 골드바흐의 추측과 더불어 수학계 3대 난제에 포함되기도 하지

 

 

수학자 힐베르트는 만약 사망 후 500년 지나서 깨어날 수 있다면, 

첫 마디로 "리만 가설은 풀렸습니까?" 라고 물어보고 싶다고 했어

 

이렇게 리만 가설이 현재 수학계에서 가장 중요한 이유는 리만 가설이 소수의 비밀을 품고 있기 때문이지

리만의 논문의 제목이 보여주듯이 리만은 주어진 수보다 작은 소수의 개수를 내놓는 식을 구하고 싶어 했는데,

만약 이러한 만능 식이 만들어 진다면

 

N보다 작은 소수의 개수가 몇개인지,

어떤 수가 소수인지 아닌지, 

N번째 소수가 어떤 수인지 까지 알 수 있게 돼

 

소수의 공식을 구하려고 시도했던 고대 그리스 이래 누구도 성공하지 못 한 업적이지 

 

리만의 논문에서 나오는 내용을 증명 없이 감상만 해 보자

 

 

 

 

리만의 제타 함수야

읽판을 요새 보다 보면 자주 봤을 식인데, 변수 S에 대한 조화 급수의 합을 나타내지

리만은 이 단순한 식이 소수의 비밀을 밝힐 열쇠라고 봤어

이 함수가 어떻게 소수의 비밀을 보여줄 수 있을까?

 

 

이 것이 리만이 단 4장짜리 논문에서 유도해낸 식이야

좌변은 적분의 형태로 나타나 있고, 우변에 제타 함수가 들어 가네.

J(x)라는 함수가 뜬금 없이 나왔는데 이 함수는 이렇게 정의 돼

 

 

 

여기서 ㅠ(x) 함수가 바로 x보다 작은 소수의 개수를 나타내는 함수야

예를 들어 ㅠ(10) 이라 하면 10보다 작은 소수는 2,3,5,7 이니까 ㅠ(10) = 4 가 되지.

 

말 나온 김에 J(10)도 구해보자

 

ㅠ(10)은 4고,

ㅠ(10^1/2) 즉 √10보다 작은 소수의 개수는, 대략 √10이 3.16 정도 되니까 2,3 으로 2개.

ㅠ(10^1/3) 에서 10^1/3은 2.15 정도 되니까 2밖에 없지. 1개.

ㅠ(10^1/4) 부터는 10^1/4가 2보다 작아. 그래서 그 보다 작은 소수는 없어.

넣어서 계산하면 J(10)=5.3333.... 이 되겠네

이렇게 식만 보면 무한급수 같이 보이지만, 2보다 작으면 0이기 때문에 J(x)도 유한값이야.

중요한 건, J(x) 값을 알면 ㅠ(x) 값을 알 수 있고, ㅠ(x) 값을 알면 J(x) 값을 알 수 있다는 거야.

 

그럼 다시 리만의 식으로 돌아와 보면

 

 

J(x)는 제타 함수로 표현할 수 있다.

ㅠ(x)는 J(x)로 표현할 수 있다

즉, 주어진 수보다 작은 소수의 개수 ㅠ(x)는 제타 함수로 표현할 수 있다!

 

이런 논리에 의해 제타 함수의 비밀만 풀면

소수의 비밀도 풀 수 있을 것이라는 것이 바로 리만의 야망이었지

 

여기서 제타 함수의 비밀 중 가장 중요한 명제가 바로 

제타 함수의 자명하지 않은 해의 실수부는 1/2이다

라고 리만이 19세기에 세운 가설, 리만 가설이야.

 

정리해 보면,

리만 가설은 소수의 비밀과 관련이 있다.

즉, 마이클 경이 리만 가설을 증명한다면, 소수의 비밀을 풀려는 수학자들의 염원도 가까워 진다.

푸앵카레 추측에 이어서 두 번째 밀레니엄 문제의 해결임은 물론, 100만달러 상금도 받으시지.

 

 

 

여기까지 증명 없이 식을 보여주기만 해서 리만 가설과 소수와의 관계가 잘 와닿지 않을 수 있어

그래서 정수론 지식만 가지고 리만 가설을 설명해 볼게.

 

일단 뫼비우스 함수라는 정수론 함수가 있어

 

 

이 함수는 정수 N을 넣었을 때 N이 가지는 소인수의 개수가 홀수이면 -1,

짝수이면 1 값을 가지고, 완전제곱수로 나누어지는 N이면 무조건 0 값을 가져.

예를 들어

u(15) = 1, u(30) = -1, u(50) = 0 이렇게.

단 예외적으로 u(1) = 1 이야.

 

 

또, x보다 작은 모든 정수 n에 대해 뫼비우스 함수값을 다 더한 값을,

메르텐스 함수라 불러.

몇 개 수에 대해 뫼비우스 함수와 메르텐스 함수의 값을 살펴 보자

 

 

 

 

표로 보나 그래프로 보나 별다른 규칙성은 보이지 않아

즉, 어떤 수가 소인수를 홀수 개 가질 지, 짝수 개 가질 지는 소인수분해를 해봐야 아는 거겠지.

그래도 추측해 보면, 홀짝이니까 동전의 앞뒷면 처럼 -1과 1이 반반 확률로 나오지 않을까?

 

 

 

수학적으로 앞뒤가 나올 확률이 반반인 동전 던지기를 N번 반복할 때,

앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수의 차이는 N이 커질 수록 루트 N을 넘지 않는다는 게 증명되어 있어

 

 

만약 소인수가 홀수 개인 수와, 소인수가 짝수 개인 수가 1대1 비율이라면,

다음 식이 성립하겠지

 

 

재밌는 것은, 이 식이 성립하면 리만 가설이 참이라는 점이야

즉, 홀수 개의 소인수와 짝수 개의 소인수가 동전을 던지듯, 1대1 비율로 번갈아 나오면 리만 가설이 참이라는 거지.

누군가 위 식을 증명한다면 그는 리만 가설을 증명한 셈이 되는 거야

 

사실 이 식은 좀 빡빡한 조건이고, 리만 가설과 동치인 식은 다음과 같아

 

 

상수 C에 대해 메르텐스 함수가 루트x의 상수배를 넘어가지 않으면 리만가설이 참이고,

반대로 리만가설이 참이면 위 식이 성립하기도 하지.

마이클 경의 증명이 맞다면 위 식도 참임을 동시에 증명하게 돼.

 

다시 한 번 소수의 패턴과 제타 함수의 해의 밀접한 관계를 가지는 걸 보여주는 식이네.

 

사실 현재 수학계에는 위처럼 리만 가설이 참이라면... 이라고 가정하고 증명한 식이 5백개는 된대.

즉, 누군가 리만 가설을 증명하면 그는 5백개의 공식을 동시에 증명하는 셈이 되지

그 누군가가 마이클 경이 될 수 있을 지, 25일이 지나면 알게 되겠지

 

 

 

물론 마이클 경의 증명을 부정적으로 보는 사람들도 있어

실제로 몇 명이 리만 가설을 풀었다고 발표했다가 빠꾸먹은 적이 한 두번이 아니거든

마지막으로 리만 가설 증명의 발표에 관해서 일화 하나를 소개할게.

 

 

위에 소개한 수학자 힐베르트의 제자 중 한 명도 자신이 리만 가설을 증명했다고 발표했어.

하지만 힐베르트가 검토한 결과 논문에 치명적인 오류가 있어서 증명은 인정되지 않았지.

1년 후 학생은 병으로 세상을 떠났는데, 장례식의 조문사를 힐베르트가 맡았어.

 

장례식 당일, 깊은 슬픔에 빠져있는 고인의 친지들과 동료 학생들이 지켜보는 가운데 힐베르트가 조문사를 읽어 내려갔어.

"그토록 뛰어난 인재가 자신의 연구를 완성하지 못하고 젊디젊은 나이에 우리의 곁을 떠나간 것은, 정말로 비극이 아닐 수 없습니다.

고인은 생전에 리만 가설을 증명하는 논문을 작성했습니다. 

거기에는 약간의 오류가 있었으나, 약간의 수정을 거친다면 증명이 완성될 가능성은 여전히 남아있습니다."

어느새 장지에는 비가 내리기 시작했고, 조문객들은 더욱 숙연해졌지. 힐베르트는 격앙된 목소리로 다음 구절을 읽었어.

 

"자, 그럼 지금부터 복소함수에 대해 생각해봅시다..."